miércoles

Regresion Lineal Simple


1. INTRODUCCIÓN
Si sabemos que existe una relación entre una variable denominada dependiente y otras denominadas independientes (como por ejemplo las existentes entre: la experiencia profesional de los trabajadores y sus respectivos sueldos, las estaturas y pesos de personas, la producción agraria y la cantidad de fertilizantes utilizados, etc.), puede darse el problema de que la dependiente asuma múltiples valores para una combinación de valores de las independientes.
La dependencia a la que hacemos referencia es relacional matemática y no necesariamente de causalidad. Así, para un mismo número de unidades producidas, pueden existir niveles de costo, que varían empresa a empresa.
Si se da ese tipo de relaciones, se suele recurrir a los estudios de regresión en los cuales se obtiene una nueva relación pero de un tipo especial denominado función, en la cual la variable independiente se asocia con un indicador de tendencia central de la variable dependiente. Cabe recordar que en términos generales, una función es un tipo de relación en la cual para cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente.
2. ASPECTOS TEÓRICOS
REGRESIÓN SIMPLE Y CORRELACIÓN
La Regresión y la correlación son dos técnicas estadísticas que se pueden utilizar para solucionar problemas comunes en los negocios.
Muchos estudios se basan en la creencia de que es posible identificar y cuantificar alguna Relación Funcional entre dos o más variables, donde una variable depende de la otra variable.
Se puede decir que Y depende de X, en donde Y y X son dos variables cualquiera en un modelo de Regresión Simple.
"Y es una función de X"
Y = f(X)
Como Y depende de X,
Y es la variable dependiente, y
X es la variable independiente.
En el Modelo de Regresión es muy importante identificar cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente.
En el Modelo de Regresión Simple se establece que Y es una función de sólo una variable independiente, razón por la cual se le denomina también Regresión Divariada porque sólo hay dos variables, una dependiente y otra independiente y se representa así:
Y = f (X)
"Y está regresando por X"
La variable dependiente es la variable que se desea explicar, predecir. También se le llama REGRESANDO ó VARIABLE DE RESPUESTA.
La variable Independiente X se le denomina VARIABLE EXPLICATIVA ó REGRESOR y se le utiliza para EXPLICAR Y.
ANÁLISIS ESTADÍSTICO: REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
En el estudio de la relación funcional entre dos variables poblacionales, una variable X, llamada independiente, explicativa o de predicción y una variable Y, llamada dependiente o variable respuesta, presenta la siguiente notación:
Y = a + b X + e
Donde:
a es el valor de la ordenada donde la línea de regresión se intercepta con el eje Y.
b es el coeficiente de regresión poblacional (pendiente de la línea recta)
e es el error
SUPOSICIONES DE LA REGRESIÓN LINEAL
  1. Los valores de la variable independiente X son fijos, medidos sin error.
  2. La variable Y es aleatoria
  3. Para cada valor de X, existe una distribución normal de valores de Y (subpoblaciones Y)
  4. Las variancias de las subpoblaciones Y son todas iguales.
  5. Todas las medias de las subpoblaciones de Y están sobre la recta.
  6. Los valores de Y están normalmente distribuidos y son estadísticamente independientes.
ESTIMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE REGRESIÓN MUESTRAL
Consiste en determinar los valores de "a" y "b " a partir de la muestra, es decir, encontrar los valores de a y b con los datos observados de la muestra. Elmétodo de estimación es el de Mínimos Cuadrados, mediante el cual se obtiene:
Luego, la ecuación de regresión muestral estimada es
Que se interpreta como:
a es el estimador de a
Es el valor estimado de la variable Y cuando la variable X = 0
b es el estimador de b , es el coeficiente de regresión
Está expresado en las mismas unidades de Y por cada unidad de X. Indica el número de unidades en que varía Y cuando se produce un cambio, en una unidad, en X (pendiente de la recta de regresión).
Un valor negativo de b sería interpretado como la magnitud del decremento en Y por cada unidad de aumento en X.
3. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA
Los datos de la siguiente tabla representan las estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de una muestra de 12 hombres adultos. Para cada estatura fijada previamente se observó el peso de una persona seleccionada de entre el grupo con dicha estatura, resultando:
X
152
155
152
155
157
152
157
165
162
178
183
178
Y
50
61.5
54.5
57.5
63.5
59
61
72
66
72
84
82
Con estos datos vamos a plantear una ecuación de regresión simple que nos permita pronosticar los pesos conociendo las tallas. Utilizaremos a = 0.05, y contrastaremos nuestra hipótesis con la prueba F.
4. DESARROLLO
  • Representación matemática y gráfica de los datos:
Representación Matemática
estatura
pesos
Regresión Lineal
I.C. para la media
I. C. individual
datos
x
y
x ^2
y ^2
xy
y est.
Residual
L. I.
L. S.
L. I.
L. S.
1
152
50
23104
2500
7600
56.43
-6.43
53.07
59.79
47.30
65.56
2
155
61.5
24025
3782.3
9532.5
59.03
2.47
56.09
61.97
50.05
68.02
3
152
54.5
23104
2970.3
8284
56.43
-1.93
53.07
59.79
47.30
65.56
4
155
57.5
24025
3306.3
8912.5
59.03
-1.53
56.09
61.97
50.05
68.02
5
157
63.5
24649
4032.3
9969.5
60.77
2.73
58.05
63.48
51.85
69.68
6
152
59
23104
3481
8968
56.43
2.57
53.07
59.79
47.30
65.56
7
157
61
24649
3721
9577
60.77
0.23
58.05
63.48
51.85
69.68
8
165
72
27225
5184
11880
67.71
4.29
65.17
70.24
58.85
76.57
9
162
66
26244
4356
10692
65.11
0.89
62.65
67.56
56.27
73.94
10
178
72
31684
5184
12816
78.99
-6.99
74.65
83.33
69.45
88.52
11
183
84
33489
7056
15372
83.32
0.68
78.01
88.64
73.31
93.34
12
178
82
31684
6724
14596
78.99
3.01
74.65
83.33
69.45
88.52
Representación Gráfica
5. HIPÓTESIS
HO: No hay relación entre la variable peso y la variable estatura.
HA: Hay relación entre la variable peso y la variable estatura.
Tabla de análisis de varianza
Fuente de
Grados de
Suma de
Cuadrados
Variación
libertad
cuadrados
medios
estadístico F
Debido a
la regresión
1
1061.1
1061.1
73.08
error
10
145.2
14.5
total
11
1206.3
Se obtiene un valor F = 73.08 > 4.96, con lo cual se rechaza la hipótesis nula y aceptamos que la variable estatura está relacionada con la variable peso con un 95% de confianza.
  • De acuerdo al desarrollo matemático hemos obtenido los siguientes cálculos:
Lo que nos permite obtener los coeficientes a y b.
Luego,
b = 1223 / 1409.667 = 0.8676
a = 65.25 – (0.8676) (162.167) = -75.446
6. INTERPRETACIÓN
  • La ecuación de regresión estimada es: 
Coeficiente de correlación: R= 0.9379
Coeficiente de determinación: R²=0.8796
El valor de b = 0.8676 indica el incremento del peso en kilogramos, en promedio, por cada centímetro de aumento en la estatura de los hombres adultos.
El valor de a, no tiene interpretación práctica en el ejemplo, se interpretaría como el valor obtenido, en promedio, para el peso Y, cuando la estatura es 0.
Utilizando la ecuación de regresión para estimar o predecir valores de la variable Y: Para una talla de 180 se obtiene un peso de 80.7 kg.
¿Cuánto se espera que pese (en promedio) una persona que mide 1.60 m?
Sustituyendo el valor de interés en la ecuación:
Se obtiene:
7. CONCLUSIÓN
La ecuación de Regresión Lineal estimada para las variables estatura y peso muestran, de acuerdo a la prueba F, relación.
Esta relación se ha estimado en un R = 93.7, que indica una fuerte relación positiva.
Además si consideramos el coeficiente de determinación R² = 87.9 podemos indicar que el 87.9% de las variaciones que ocurren en el peso se explicarían por las variaciones en la variable estatura.

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